1960年，卡尔曼发表了他的著名论文，文章阐述了对离散数据滤波问题的递归处理。从那以后，可能是因为数字计算的发展，卡尔曼滤波已成为扩展研究和应用的主题，特别是在自主和辅助导航系统领域。
卡尔曼系统是一套数学方程式，其作用是提供一种估计过程状态的有效计算（递归）方法，在某种程度上最小化平方误差均值。此滤波在数个方面作用明显：它能证实过去、现在、甚至将来状态的估计，在模式的精确状态处于未知状态时也能如此。
我们写这篇文章，其目的在于为离散卡尔曼滤波提供一个实用的入门介绍。这个介绍包括描述和一些讨论对基本的离散卡尔曼滤波，一个来源，描述和一些讨论扩展卡尔曼滤波， 以及一个相对简单的(明确)带有实数和结果的例子。
1 离散卡尔曼滤波
1960年，卡尔曼发表了他的著名论文，文章阐述了对离散数据滤波问题的递归处理。从那以后，可能是因为数字计算的发展，卡尔曼滤波已成为扩展研究和应用的主题，特别是在自主和辅助导航系统领域。
估计过程
卡尔曼滤波处理的是在由线性随机差分方程控制的离散时间控制过程中，试图估计状态xÎÂn的一般性问题。
xk=Axk-1+Buk-1+wk-1 (1.1)
用一zÎÂm的测量是；
zk=Hxk+vk (1.2)
自由变量wk和vk分别代表进程和测量噪音。假定他们相互独立、白色，其正常的概率分布为
p(w)~N(0,Q) (1.3)
p(v)~N(0,R) . (1.4)
在实践中，过程噪音协方差Q和测量协方差R矩阵可能会随着时间步骤和测量而有所变化，但是这里我们假定他们是常量。
在缺少驱动函数和过程噪音的情况下，在差分方程式（1.1）中，n n矩阵A上一时间步骤K-1的状态与当前步骤k状态联系起来。注意，实际上A可能会随着每一时间步骤而变化，但是我们假定它是常量。n
l矩阵B把任选控制输入uÎÂl, 和状态x联系起来。测量过程（1.2）中，n
n矩阵H把状态和测量zk联系起来。实际中H可能会随每次时间步阶和测量而变化，但这里我们假定它是常量。
滤波的计算源头。
考虑到步骤K以前的过程，我们定义xˆ ÎÂn(注意上面的减号)是K步上的一个先前状态的估计；并且定义xÎÂn是K步上的一个后续状态的估计。考虑到测量zk,,然后我们定义先前和后续估计误差为
e =xk-xˆ
,以及
ek=xk-xˆk
然后先前的估计误差协方差是
P =E[e-ke-Tk], (1.5)
后续估计误差协方差事是
Pk=E[ekeTk]. (1.6)
在推导卡尔曼滤波方程时，我们首先要找到这样一个方程式，它能计算出一个后续状态的估计值xˆk，用先前导出的估计xˆk-和实际测量与测量预测Hxˆk-的加权协方差线性组合起来。如下面（1.7）关于（1.7）的证明将在下面的概率起源中给出.
（1.7）中差分(zk-H xˆ )被叫做测量革新，或称残差。残差反映了预测测量Hxˆ
与实际测量zk的差异。零残差意味着这两个测量完全相同。
（1.7）中n m矩阵K被选作增益或调和因素，以使（1.6）中的后续误差协方差最小。这个最小值可以通过最初把（1.7）是带入上面的ek定义中得到，然后把最小值带入（1.6），运行指示期望值，取出结果的迹关于K的导数，使结果等于零，然后再解出K的值。想了解详细情况，可参阅[枚百克79; 布茹恩92; 寨克保斯93]，使（1.6）最小的K值的一种形式如下
. 
从（1.8）看出，测量误差协方差R越接近零，增益K越加重残差的权重，特别是
另一方面，先前估计误差协方差R越接近零，增益K对残差的权重影响越不明显。特别是
另外一种考虑K的权重的方法是，当测量误差协方差R趋近于零时，实际测量zk越来越可信，而预测测量Hxˆ 越来越不可信。另一方面，当先前估计误差协方差P-k趋近于零时，实际测量zk越来越不可信，而预测测量Hxˆ
则越来越可信。
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